Urodziła się 2 maja 1936 roku w rodzinie aktorskiej. Na ekranie zadebiutowała mając zaledwie 16 lat, ale szybko stała się wielką gwiazdą rodzimego kina. Międzynarodowa sława przyszła wraz z rolą Alicii w "
Wersji oficjalnej" w reżyserii
Luisa Puenzo. Obraz ten zdobył Oscara w kategorii najlepszy film nieanglojęzyczny, co także Normie zagwarantowało spory rozgłos. Zagrała drugoplanową rolę Florencii w "
Gaby. Historia prawdziwa", co przyniosło jej nominacje do Złotego Globu i Oscara. Jednak reguły Hollywood są bezlitosne i ze względu na swój wiek (wówczas miała 51 lat) Norma gwiazdą Hollywood nie została. Ale w rodzimym kinie nadal królowała. Zagrała w nominowanym do Oscara w roku 2002 "
Synu panny młodej", który zapewnił jej trzecią nagrodę Argentyńskiej Akademii Filmowej. Później głośno było o kolejnym filmie z jej udziałem - nagrodzonej m.in. na festiwalu w Montrealu "
Cleopatrze", gdzie partnerowali jej laureat Goi,
Leonardo Sbaraglia oraz znana także w Polsce, aktorka i piosenkarka
Natalia Oreiro. W ostatnich latach Aleandro zagrała m.in. w serialach "
Los ricos no piden permiso" oraz "
Ogród z brązu".